Özet: Yaklaşım teorisinde son yılların öne çıkan eğilimlerinden biri, klasik yaklaşım operatörlerinin yaklaşım performansını, yerel interpolasyon blokları ile güçlendirerek artırmaktır. Bu hibrit yaklaşım tekniği, bir yandan çekirdek yapıların sağladığı kararlı davranışı korurken, diğer yandan interpolasyonun sağladığı yerel doğruluk artışını operatör düzeyinde sisteme taşır. Bu konuşmada, interpolasyon polinomlarına dayalı hibritleştirme fikrinin temel çerçevesi sunulacak; özellikle kayan pencereli (sliding-window) Lagrange interpolasyonu ve spline tabanlı yerel bloklar üzerinden kurulan şemalar ele alınacaktır. Hibrit yapıların polinom korunum özellikleri, yerelleştirme parametrelerinin rolü ve düzgünlük varsayımları altında elde edilen hata mertebeleri incelenecektir. Ayrıca, yüzey/şekil yaklaşımı gibi seçilmiş uygulama örnekleri üzerinden hibrit yaklaşımın pratik etkileri tartışılacaktır. Amaç, bu hibrit yöntemlerin yaklaşımı nasıl hızlandırdığını hem teoride hem uygulamada ortaya koymaktır.

Özet: The Bernstein polynomials first appeared in [1] published by S. N. Bernstein in 1912. There, it was proved that, given f ∈ C[0,1], polynomials

converge to f uniformly on [0,1]. Nowadays, these polynomials are called Bernstein polynomials and their remarkable properties have made them an area of intensive research. The importance of the Bernstein polynomials opened the gates to the discovery of their numerous generalizations as well as their applications in various mathematical disciplines. A vast number of studies have been conducted not only on the behavior, but also on a large series of applications of the Bernstein polynomials.

Due to the speedy development of the q-calculus, generalizations based on the q-integers have emerged. While the first known q-version of the Bernstein operators was proposed in 1987 by Alexandru Lupaş [2], the most popular q-generalization of the Bernstein polynomials belongs to G.M. Phillips. In 1996, he constructed ([4,5]) new polynomials known today as the q-Bernstein polynomials. These polynomials quickly gained the popularity and have been studied by a number of authors from different perspectives. See, for example, [3,6,7].

In this talk, the main results obtained in the theory of q-Bernstein polynomials are discussed and a few open problems are stated.

Özet: Klasik mekanikte n serbestlik derecesine sahip bir Hamiltonyen sistem, Hamiltonyen dâhil olmak üzere birbiriyle involüsyon hâlinde n adet fonksiyonel bağımsız hareket integrali içeriyorsa Liouville integrallenebilir olarak adlandırılır. Buna ek olarak sistem, en az bir ve en fazla n-1 adet ek hareket integrali barındırıyorsa süperintegrallenebilir sistem adını alır. Hareket integrallerinin tamamı fonksiyonel olarak bağımsız olmalıdır, ancak ek integrallerin kendi aralarında veya mevcut integrallerle (Hamiltonyen hariç) involüsyon hâlinde bulunmaları gerekmez. Bu kavramların kuantum mekaniğindeki karşılıkları benzer biçimde tanımlanır, fakat bu durumda hareket integralleri iyi tanımlı lineer kuantum operatörleri şeklinde ele alınır ve fonksiyonel bağımsızlık koşulu yerini cebirsel bağımsızlık şartına bırakır.

Süperintegrallenebilir sistemler kapalı yörüngeler, enerji seviyelerindeki yüksek dereceli dejenerasyon ve gizli simetriler gibi dikkat çekici fiziksel özellikleri nedeniyle hem klasik hem de kuantum mekanikte merkezi bir rol oynarlar. Bu konuşmada öncelikle süperintegrallenebilir sistemlerin kısa bir tarihçesi ve en bilinen örnekleri ele alınacak, ardından bu sistemlerin sistematik sınıflandırılmasına yönelik çalışmalardan bahsedilecektir. Özellikle üç boyutlu Öklid uzayında iki parçacığın etkileşimini tanımlayan Hamiltonyen sistemler incelenecektir. İlk aşamada, parçacıklardan yalnızca birinin spine sahip olduğu Pauli tipi modeller ele alınacak ve momentuma göre en fazla ikinci mertebeden ek hareket integrallerine sahip sistemlerin sınıflandırılması tartışılacaktır.  Konuşmanın ikinci kısmında, her iki parçacığın da spine sahip olduğu daha genel durum ele alınacaktır. Bu çerçevede spin–spin ve spin–yörünge etkileşimlerini içeren Hamiltonyenler için hareket integrallerinin yapısı incelenecek ve güncel çalışmalar kapsamında elde edilen sınıflandırma sonuçları özetlenecektir. Bu sonuçlar, spin içeren kuantum süperintegrallenebilir sistemlerin cebirsel yapısının daha iyi anlaşılmasına ve yeni tam çözülebilir modellerin ortaya çıkarılmasına katkı sağlamaktadır.